Biografie: Pierre de Fermat

On 17 august 2011, in Matematică, by Vitalie

Pierre de Fermat (n. 17 august 1601, Montauban, Franța – d. 12 ianuarie 1665, Castres, Franța) a fost un avocat, funcționar public și matematician francez, cunoscut pentru contribuțiile sale vaste la diferite domenii matematice, precursor al calculului diferențial, geometriei analitice și calculului probabilităților. Lui Fermat îi este atribuit într-o măsură mai mică calculul modern, în special, pentru munca sa referitoare la tangente și punctele staționare. Fermat este considerat câteodată “părinte” al calculului diferențial și al teoriei numerelor. A avut contribuții și în geometria analitică și probabilitate.

S-a născut în orașul Beaumont-de-Lomagne din Occitania. Tatăl lui era un bogat negustor de piei. Sub presiunea familiei, Fermat s-a îndreptat spre o carieră în administrația civilă. În 1631 a fost numit consilier la Departamentul de Solicitări din Toulouse. În 1652 a fost afectat de o formă a ciumei,care bântuia Europa acelor ani. A întreținut o vastă corespondență cu Digby,Wallis și Marin Mersenne.

Spirala lui Fermat (cunoscută şi ca spirala parabolică) este descrisă de următoarea ecuaţie în coordonate polare:

$r\ =\ \theta^{1/2}$

Aceasta este o formă particulară de spirală Arhimedică.

Mica teoremă a lui Fermat este o teoremă care afirmă că dacă p este un număr prim şi a este un număr întreg nedivizibil cu p, atunci $a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}\,\!$
Teorema lui Euler
O generalizare este teorema lui Euler $a^{\varphi (n)} \equiv 1 \pmod{n}$ , unde(a, n)=1 şi φ(n) este indicatorul lui Euler.

Am notat cu (a, b) cel mai mare divizor comun dintre a şi b.
Dacă (a, b) =1 spunem că a şi b sunt prime între ele.

Principiul lui Fermat afirmă ca la trecerea unei raze de lumină prin medii cu densităţi diferite, aceasta va urma traiectoria pe care va putea să o parcurgă în timpul cel mai scurt.

Marea teoremă a lui Fermat este o celebră teoremă de teoria numerelor. Ea a fost enunţată de Pierre de Fermat în anul 1637, iar demonstraţia completă a fost găsită de-abia 357 de ani mai tîrziu de către matematicianul englez Andrew Wiles.

Enunţul este simplu:

Ecuaţia xⁿ + yⁿ = zⁿ nu are soluţii dacă n>2 este număr natural, iar x,y,z sunt numere întregi nenule.

Cazuri particulare

Pentru n=2, enunţul nu este adevărat. Există triplete de numere naturale (x,y,z) cu care se pot forma laturile unui triunghi dreptunghic; de aici, conform teoremei lui Pitagora, avem x² + y² = z². De exemplu (3,4,5) sau (5,12,13). Există chiar o infinitate de astfel de triplete, forma lor generală fiind x=2uv,y=u²-v², z=u²+v², unde u şi v sunt numere naturale oarecare.

Pentru n>2, doar cazul n=4 admite o demonstraţie elementară, schiţată de Fermat însuşi. Chiar şi pentru cazul n=3 demonstraţia depăşeşte nivelul manualelor de liceu; primul care s-a ocupat de cazul n=3 a fost matematicianul Leonhard Euler, în 1753. În 1825, francezii Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet şi Adrien-Marie Legendre tranşează cazul n=5, demonstraţia având ca punct de plecare o idee mai veche a lui Sophie Germain. După câţiva ani, este finalizată demonstraţia pentru n=7,de către francezul Gabriel Lamé.

La mijlocul secolului XIX, Academia Franceză instituie un premiu de 3000 franci (o sumă enormă atunci) pentru o demonstraţie completă a teoremei.

Demonstraţii pentru numere prime mai mici ca 100 au fost date aproximativ în aceeaşi perioadă, de către matematicianul german Ernst Kummer.

În 1908, magnatul german Paul Wolfskehl alocă uriaşa sumă de 100.000 de mărci celui ce va demonstra teorema (‘oferta’ fiind valabilă până în 2007).

După apariţia calculatoarelor electronice, au fost abordate cazuri particulare pentru valori tot mai mari ale lui n; prin anii 1980,erau elucidate toate cazurile în care n<4.000.000.

În ultimii ani de dinaintea găsirii demonstraţiei complete pentru orice n>2, matematicienii erau convinşi că prin metode elementare nu se mai poate aduce nimic nou.

Demonstrarea teoremei

În anul 1983, matematicianul german Gerd Faltings a demonstrat că există cel mult o mulţime finită de contra-exemple la marea teoremă a lui Fermat.

În septembrie 1994, matematicianul englez Andrew Wiles a dat demonstraţia completă a teoremei, după ce, în 1993, propusese o altă demonstraţie, care se dovedise a fi greşită.

Teorema lui Fermat este o teoremă de analiză matematică, numită astfel după Pierre de Fermat. Ea dă o metodă de a găsi punctele demaxim şi minim ale unei funcţii derivabile. Valoarea derivatei în aceste puncte este 0. Astfel, problema determinării punctelor de maxim şi minim ale unei funcţii se reduce la obţinerea soluţiilor unei ecuaţii.

Enunţ

Fie $f\colon (a,b) \rightarrow \mathbb{R}$ o funcţie şi se presupune că $\displaystyle x_0 \in (a,b)$ este un punct de maxim (sau minim) local al funcţiei $\displaystyle f$ . Dacă $\displaystyle f$ estederivabilă în $\displaystyle x_0$ atunci $\displaystyle f'(x_0) = 0$ .

Demonstraţie

Presupunem că $\displaystyle x_0$ este un maxim (o consideraţie similară se poate face în cazul că $\displaystyle x_0$ este un minim). Atunci $\exists \, \delta > 0 ” /> astfel ca <img src=$ şi avem $f(x_0) \ge f(x)\, \forall x$ cu $\displaystyle |x - x_0| < \delta$ . Prin urmare pentru orice $h \in (0,\delta)$ avem

$\frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h} \le 0.$

Deoarece limita acestui raport când $\displaystyle h$ tinde spre 0 există şi este egală cu $\displaystyle f'(x_0)$ se trage concluzia că $f'(x_0) \le 0$ . Pe de altă parte, pentru $h \in (-\delta,0)$ avem

$\frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h} \ge 0$

unde, de asemenea, limita când $\displaystyle h$ tinde spre 0 există şi este egală cu $\displaystyle f'(x_0)$ se trage concluzia că $f'(x_0) \ge 0$ .

Prin urmare rezultă că $\displaystyle f'(x_0) = 0$ .

2 Responses to “Biografie: Pierre de Fermat”

28nov2011Moldova spune:

28 noiembrie 2011 la 23:09

Foarte util! Rog sa nu fie sters! =) Doresc ca si urmatoarele generatii sa invete!) Acum e 28 noiembrie 2011 , sunt din Moldova , Chisinau . Foarte interesant e ca acest mesaj va fi observat peste multi multi ani. Si imi va fi pasa deja .. sper ca am creat senzatii placute la cei ce au citit acest mesaj . Scurt despre timpul meu : Masini zburatoare inca nu exista Curand apare IPhone 5 daca ceva ma gasiti pe skype mr_w0lfy sa va aud parerile

Răspunde
- Vitalie spune:
  
  29 noiembrie 2011 la 11:41
  
  Și dacă mâine închid site-ul?!
  
  Răspunde

ReferateXP

Referate, Comentarii, Eseuri și Lucrări pentru Liceu şi Facultate.